1. Presentazione, sito, materiali, risorse bibliografiche, modalità d'esame. Cronologia per la quantum computing, discipline fondamentali (meccanica quantistica, informatica, teoria dell'informazione) e loro sviluppo storico. Meccanica quantistica, nascita come meta-teoria, quantum computing come teoria. Elementi del calcolo quantistico (no-cloning, qubit).
2. Informatica, prodromi e nascita, macchina di Turing e tesi di Church-Turing. Legge di Moore, limiti tecnologici come motivazione tecnologica per la Quantum Computing. Algoritmi randomizzati e tesi di Church-Turing ristretta. Il paradigma quantistico come modello di calcolo plausibile anche da un punto di vista fisico. La macchina di Turing quantistica, indizi della superiorità del paradigma quantistico. Nascita della teoria dell?informazione, impatto sull?informatica classica e quantistica.
3. Dal calcolo classico al calcolo quantistico. Il calcolatore classico: bit, circuiti/reti logiche, porte logiche. Le principali porte logiche, basi complete, esempi: il circuito parità. Algebre di Boole come framework teorico per la descrizione del calcolo digitale. Passaggio al paradigma quantistico. Il qubit, stato di un qubit come ket unitario nello spazio vettoriale generato dagli stati base classici, significato delle ampiezze degli stati base. Estrazione probabilistica dell'informazione mediante osservazione.
4. Osservazione e conseguente collasso dello stato (interpretazione di Copenaghen). Dinamica probabilistica di un sistema quantistico. Quantità d'informazione da un qubit, informazione nascosta. Quantum Computing come strumento per comprendere la meccanica quantistica vs. spiegazione ortodossa della meccanica quantistica.
5. L'esperimento delle due fenditure di T. Young. Meccanica classica vs. meccanica ondulatoria vs. meccanica quantistica. Ingredienti della meccanica quantistica nell'esperimento di Young: vettore stato, ampiezza e probabilità, andamento ondulatorio della probabilità e pattern/fattore di interferenza, osservazione e collasso della forma d'onda. Realizzazione fisica di qubit: elettroni su livelli energetici, spin, fotoni e polarizzazione, superconduttori e giunzioni di Josephson.
6. Quregister come sequenze di qubit, stati base del quregister e stato come ket unitario, l'esempio di un quregister a due qubit. Osservazione di un quregister, probabilità dei risultati, collasso dello stato. Osservazione di porzioni di quregister, collasso come vettore normalizzato. Non-località della meccanica quantistica, composizione di sistemi quantistici. Entanglement quantistico, stati entangled e loro significato nell'osservazione, stati di Bell o EPR.
7. Quregister a n qubit, stato, osservazione e collasso. Ossevare la parità di un registro, effetto. Informazione nascosta in un quregister, indizi di superiorità del paradigma quantistico su quello classico. Quantum circuit, definizione in analogia al caso classico. Quantum gate. Quantum gate su qubit singolo. Gate NOT X, definizione sugli stati base e sulle sovrapposizioni per linearità, analogie col NOT classico.
8. Definizione matriciale di X, interpretazione geometrica. Proprietà generali delle matrici per quantum gate, unitarietà e reversibilità (invertibilità), unitarietà e inversa di X. Gate Z, interpretazione geometrica e proprietà della relativa matrice. Il gate H di Hadamard-Walsh, forma matriciale e azione sugli stati base, gli stati |+> e |->. Unitarietà e inversa di H per via algebrica. Interpretazione geometrica di H mediante rotazione e gate Z, unitarietà e inversa di H per via geometrica. Realizzazione circuitale di H con rotazione e Z. Base completa per i quantum gate su singolo bit.
9. Analisi di circuiti quantistici con quantum gate su singolo qubit. Dal caso classico (composizione di not, comportamento poco interessante) a quello quantistico (comportamento variegato). Costruzione di un circuito quantistico su un filo e calcolo passo passo del ket di output. Circuiti su due fili scorrelati. Calcolo dei ket di input e output mediante composizione di ket. Costruzione e analisi di circuiti quantistici su due fili. Circuito di Hadamard su più fili, generazione equiprobabile di tutti i contenuti del registro di input. Calcolo in un passo di XOR su tutti gli input possibili, parallelismo quantistico.
10. Fenomeni di interferenza distruttiva/costruttiva mediante quantum random walk. Confronto con dinamiche probabilistiche. Ingredienti principali della meccanica quantistica e della quantum computing: parallelismo quantistico, interferenza quantistica, entanglement. Necessità di gate quantistici per generare entanglement. Gate quantistici su due qubit e circuiti quantistici, analogie e differenze col caso classico. Specifica del comportamento di un gate quantistico a due qubit: definizione sugli stati base ed estensione lineare, funzionamento su due ket d'ingresso.
11. Funzionamento di un gate quantistico su stati entangled. Rappresentazione matriciale di un gate quantistico a due qubit. Il controlled-NOT (CNOT): rappresentazione, definizione e varie modellizzazioni della dinamica. Unitarietà e invertibilità della matrice di evoluzione CN. Importanza del CNOT nella base universale per i circuiti quantistici. Alcuni esercizi sulla costruzione e analisi di circuiti con CNOT.
12. Il circuito di SWAP: definizione, implementazione con CNOT, descrizione della dinamica. Significato a livello di programmazione quantistica. Generazione di stati di Bell (entangled) mediante Hadamard e CNOT. Gate quantistici su n qubit. Osservazioni e gate di osservazione nei circuiti quantistici, dinamica probabilistica risultante. Analisi di un circuito quantistico con input entangled e gate di osservazione. Potenza computazionale quantum vs. classico: operazioni circuitali classiche fattibili o meno quantisticamente (fan out, NOT, XOR, AND, OR). Gate quantistico universale, quantum potente almeno quanto classico sui circuiti. Parallelismo quantistico nel calcolo di funzioni booleane.
13. Strumenti matematici nella quantum computing. I numeri complessi, storia, motivazioni, definizione. Somma e prodotto di complessi, proprietà, elementi neutri e inversi, il campo (non ordinato) C dei numeri complessi. Rapporto, potenza, radici di numeri complessi. Modulo, complesso coniugato, alcune proprietà. Rappresentazioni dei numeri complessi: cartesiana, polare, trigonometrica, passaggi dall'una all'altra forma. Utilità delle forme nelle operazioni sui complessi. Rappresentazione esponenziale dei complessi, dimostrazione della formula di Eulero.
14. Spazi vettoriali e algebra lineare. Definizione generale di spazio vettoriale su campo, esempi, lo spazio C^n e le sue operazioni. Sottospazi e sottospazi generati (di sostegno). Vettori linearmente indipendenti, base, rappresentazione dei vettori in una certa base, esempi: base Z e X. Operatori lineari e loro rappresentazione matriciale, composizione di operatori lineari come prodotto matriciale.
15. Matrici di Pauli, proprietà. Prodotto interno, assiomi. Norma, vettori unitari, ortogonali, ortonormali. Basi ortonormali, procedura di Gram-Schmidt, estrazione di componenti mediante prodotto interno. Vettori bra come operatori lineari nello spazio duale, proprietà. Prodotto bra-ket per esprimere il prodotto interno canonico in C^n. Concetti geometrici in spazi generali mediante prodotto interno: modulo, angolo complesso, ortogonalità e ortonormalità.
16. Spazi euclidei, distanza indotta dal prodotto interno, convergenza di successioni e spazi completi. Spazi di Hilbert e loro importanza nella meccanica quantistica. Prodotto esterno ket-bra, proprietà ed espressione matriciale. Relazione di completezza per i prodotti esterni, rappresentazione e uso di matrici come combinazione lineare di prodotti esterni, esempi ed esercizi. Esempi di espressione di gate quantistici mediante prodotti esterni, esercizi. Porte quantistiche controllate, definizione e rappresentazione mediante matrici di transizione e prodotti esterni, esempi.
17. Autovalori, autovettori, autospazi di un operatore lineare, polinomio caratteristico. Diagonalizzabilità di un operatore lineare. Aggiunto di un operatore, algebra dell'operatore di aggiunzione. Operatore Hermitiano, definizione. I proiettori come operatori Hermitiani, con prodotti esterni e rappresentazione matriciale. Spazio associato a un proiettore e complemento ortogonale, specifica del proiettore sul complemento. Operatori normali, definizione, proprietà, Teorema della rappresentazione spettrale, variante Hermitiana e importanza nella definizione di osservabili. Operatori unitari, definizione, caratterizzazioni, proprietà, importanza nella definizione di dinamiche quantistiche. Prodotto tensore, definizione e assiomi definitori. Estensione di operatori su spazi tensore, prodotto interno.
18. Rappresentazione matriciale del prodotto tensore, prodotto di Kronecker, importanza nella descrizione di sistemi quantistici composti. Esercizi sull'utilizzo del prodotto tensore nella descrizione di porte quantistiche su fili diversi. I postulati della Meccanica Quantistica. Postulato 1: spazi di Hilbert come spazi degli stati, stato come ket normalizzato, esempi. Postulato 2: dinamica quantistica come dinamica unitaria, esempi. Postulato 3: osservabili come operatori Hermitiani, significato degli autovalori e autospazi, misurazione di un'osservabile e collasso conseguente, dinamica probabilistica, esempi: definizione dell'osservabile canonica per un qubit. Postulato 4: composizione di sistemi quantistici e azioni composte mediante prodotti tensoriali. Esercizio sulla modellazione di quregister come sistemi composti di qubit, definizione di osservabili su quregister.
19. Rappresentazione tridimensionale dei qubit: la sfera di Bloch. Definizione delle coordinate sferiche di un qubit. Fattori globali di fase e stati osservazionalmente equivalenti. Posizione sulla sfera di Bloch di alcuni ket notevoli. No cloning Theorem: dimostrazione, significato e considerazioni. Teletrasporto quantistico: trasportare stati quantistici sfruttando solo la trasmissione di bit classici. Algoritmo Alice-Bob con stati entangled e misurazioni. Osservazioni sulla velocità di trasmissione dell'informazione e relazione con il no cloning theorem.
20. Algoritmi quantistici per l'invio di codifica superdensa: significato, fase di codifica e decodifica mediante base di Bell. Simulazione quantistica di circuiti logici classici, la porta di Toffoli: definizione, reversibilità e unitarietà. Realizzazione di NAND e fan out mediante porta di Toffoli. Implementazione quantistica di circuiti classici, cenni all'equivalenza dei due paradigmi. Calcolo parallelo di funzioni booleane mediante il paradigma del parallelismo quantistico, implementazione. Algoritmo di Deutsch, struttura, implementazione e analisi. Generalizzazione: algoritmo di Deutsch-Josza per funzioni costanti o bilanciate, analisi.
21. Quantum search: algoritmo di Grover, struttura. Oracolo e il suo effetto sulla sovrapposizione equiprobabile: inversione dell'ampiezza delle soluzioni. Operatore di diffusione (inversione intorno alla media): struttura e definizione algebrica. Effetto della diffusione: amplificazione dell'ampiezza delle soluzioni. Interpretazione geometrica dell:. Interpretazione geometrica dell'operatore di Grover (oracolo + diffusione): rotazione verso lo spazio delle soluzioni. Analisi della complessità temporale, numero di iterazioni: speed-up quadratico rispetto alla ricerca classica.
22. Un esempio reale di applicazione dell'algoritmo di Grover: implementazione dell'operatore di diffusione a meno di una fase globale. Ciclicità dell'operatore di Grover. La trasformata di Fourier quantistica (QFT). Definizione di trasformata di Fourier discreta (DFT), applicazioni e complessità classica. DFT vista come matrice unitaria. Definizione di QFT, funzionamento sugli stati base, costruzione tensoriale.
23. Circuito quantistico per l'implementazione della QFT, utilizzo del quantum gate di fase R_k, analisi di correttezza e complessità: speed-up esponenziale. Uso della QFT (e QFT^-1) nella stima di autovalori di matrici unitarie: circuito quantistico e sua analisi di correttezza. Discussione sulla precisione della stima. Stima dell'autovalore su una combinazione di autovettori.
24. Calcolo dell'ordine di un numero, definizioni e algoritmo quantistico. Matrice modulare, suoi autovettori e autovalori. Il ket |1> come combinazione lineare degli autovettori della matrice modulare. Le operazioni controlled-U^2^k. Ricavare l'ordine dalla stima dell'autovalore: le frazioni continue, convergenti.
25. Approssimazioni razionali mediante frazioni continue, ordine di un numero dai convergenti di una frazione continua. Complessità dell'algoritmo. Il problema della fattorizzazione, complessità classica e quantistica. Algoritmo di Euclide e sua complessità. Fattori non banali di un numero da equazioni quadratiche modulari e stima della confidenza. L'algoritmo di Shor, sua complessità.

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Testi consigliati

• M.A. Nielsen, I.L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, 2010.
• S. Olivares. A Student's Guide to Quantum Computing. Springer, 2025.

 
 

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